Stochastik alle formeln

Dies ist eine Formelsammlung zu dem mathematischen Teilgebiet Stochastik einschließlich Wahrscheinlichkeitsrechnung, Kombinatorik, Zufallsvariablen und Verteilungen und Statistik.

Notation

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In der Stochastik liefert es neben der üblichen mathematischen Notation und den mathematischen Symbolen folgende häufig verwendete Konventionen:

• Zufallsvariablen werden in Großbuchstaben geschrieben: , etc.
• Realisierungen einer Zufallsvariablen werden mit den entsprechenden Kleinbuchstaben geschrieben, z. B. für das Beobachtungen in einer Stichprobe: .
• Für die Bezeichnung von Wahrscheinlichkeitsfunktionen und Wahrscheinlichkeitsdichten werden Kleinbuchstaben benutzt, z. B. .
• Für die Bezeichnung von Verteilungsfunktionen werden Großbuchstaben benutzt, z. B. .
  • Speziell die Wahrscheinlichkeitsdichte der Standardnormalverteilung wird das Bezeichnung und für die Verteilungsfunktion benutzt.
• Griechische Buchstaben (z. B. ) werden benutzt, um unbekannte Parameter (Parameter die Grundgesamtheit) zu bezeichnen.
• Eine Schätzfunktion wird häufig mit einem Zirkumflex über dem entsprechenden Symbol bezeichnet, z. B. (gesprochen: Theta Dach).
• Das arithmetische Mittel wird mit bezeichnet (gesprochen: quer).

Wahrscheinlichkeitsrechnung

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Im Folgenden sei stets einer Wahrscheinlichkeitsraum gegeben. Darin ist der Ergebnisraum eine beliebige nichtleere Menge, eine σ-Algebra von Teilmengen von , die enthält, und ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf

Grundlagen

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Axiome: Jedem Ereignis wird eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet, so dass gilt:

,

,

für paarweise disjunkte Ereignisse gültig

Rechenregeln: Aus den Axiomen ergibt sich:

Für gültig , insbesondere

Für das Gegenereignis gilt

Laplace-Experimente

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Satz von Bayes:

Unabhängigkeit:

Zwei Ereignisse sind unabhängig

Kombinatorik

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Fakultät: Anzahl der Möglichkeiten beim Ziehen aller Kugeln aus einer Urne (ohne Zurücklegen):

wobei

	ohne Wiederholung (von n Elementen)	mit Wiederholung (von r + s + … + t = n Elementen, von denen jeweils r, s … t nicht unterscheidbar sind)
Permutation

Binomialkoeffizient „n über k“

Anzahl der Möglichkeiten beim Ziehen von Kugeln aus einer Urne mit Kugeln:

	ohne Wiederholung (ohne Zurücklegen) (siehe Hypergeometrische Verteilung)	mit Wiederholung (mit Zurücklegen) (siehe Binomialverteilung)
Variation
Kombination

Zufallsvariablen

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Diskrete Zufallsgrößen

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Eine Funktion bedeutet Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen, wenn folgende Eigenschaften voll sind:

1. Für alle gilt

Für die zugehörige Zufallsvariable gilt dann:

Eine Zufallsgröße und deren Verteilung nennen diskret, falls die Funktion die Eigenschaft (2) hat. Man nennt die Wahrscheinlichkeitsfunktion von .

Stetige Zufallsgrößen

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Eine Funktion heißt Dichte(-Funktion) einer kontinuierlichen Zufallsvariablen, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

1. Für alle gilt

Für eine stetige Zufallsgröße gilt dann:

Eine Zufallsgröße und deren Verteilung heißen stetig, falls es eine geeignete Dichtefunktion mit dieser Eigenschaft gibt. Das Funktion heißt Dichte(Funktion) von .

Für die Wahrscheinlichkeit gilt

für alle

Erwartungswert und Varianz sind gegeben durch

Erwartungswert, Varianz, Kovarianz, Korrelation

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Für den Erwartungswert, die Varianz, die Kovarianz und die Korrelation gelten:

, allgemein

Für unabhängige Zufällige größen gilt:

Für unabhängige Zufallsvariablen gilt:

Tschebyschow-Ungleichung:

Spezielle Verteilungen

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Binomialverteilung

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Gegeben ist ein -stufiger Bernoulli-Versuch (d. h. mal dasselbe Experiment, unabhängig voneinander, mittels nur zwei möglichen Ausgängen und konstanten Wahrscheinlichkeiten) mittels der Erfolgswahrscheinlichkeit und der Misserfolgswahrscheinlichkeit . Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße : Anzahl der Erfolge heißt Binomverteilung.

Die Wahrscheinlichkeit für Erfolge berechnet sich nach die Formel:

Erwartungswert:

Varianz:

Standardabweichung:

σ-Regeln

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(Wahrscheinlichkeiten von Umgebungen des Erwartungswertes bei Binomialverteilungen) Zwischen dem Radius einer Umgebung um den Erwartungswert und die zugehörigen Wahrscheinlichkeit der Umgebung gelten folgende Zuordnungen (falls ):

Radius der Umgebung	Wahrscheinlichkeit der Umgebung
1σ	0,68
2σ	0,955
3σ	0,997

Wahrscheinlichkeit der Nachbarschaft	Radius der Umgebung
0,90	1,64σ
0,95	1,96σ
0,99	2,58σ

Standardisieren einer Verteilung

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Hat das Zufallsvariable eine Verteilung mit Erwartungswert und Standardabweichung , dann wird die standardisierte Variable definiert durch

Die standardisierte Variable hat den Erwartungswert 0 und das Standardabweichung 1.

Poisson-Näherung

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Gegeben sei eine Binomialverteilung mit großem Stichprobenumfang ≥ 100 und kleiner Erfolgswahrscheinlichkeit . Mithilfe von kann man dann näherungsweise die Wahrscheinlichkeit für Erfolge berechnen:

Die Beziehungen lassen sich zusammenfassen zu:

Poisson-Verteilung

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Gilt für die Verteilung einer Zufallsgröße

Näherungsformeln von Moivre und Laplace

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Sei eine binomialverteilte Zufallsgröße mittels (brauchbare Näherung besser ). Die Wahrscheinlichkeit für genau und höchstens Erfolge lässt sich näherungsweise berechnen durch:

Standardnormalverteilung

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Die Dichte(Funktion) (auch als Glockenkurve bekannt) der Standardnormalverteilung ist definiert durch:

und das Verteilungsfunktion durch:

Näherungsformeln für eine diskrete Verteilung unter Anwendung der Kontinuitätkorrektur:

Hypergeometrische Verteilung

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In einer Grundgesamtheit vom Umfang seien zwei Merkmalsausprägungen vom Umfang bzw. vertreten. Eine Stichprobe vom Umfang werde genommen. Dann nennt man die Verteilung der Zufallsgröße : Anzahl der Exemplare der 1. Merkmalsausprägung in der Stichprobe einer hypergeometrischen Verteilung.

Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe vom Umfang