Satz des pythagoras beweisen

Dieses Wissen ist bei Schülern der 9. Jahrgangsstufe bei der Behandlung des Satzes von Pythagoas oft (noch) nicht vorhanden. Die Konstruktion lässt sich an den Punkten A, B und C .

 

Kapitel

  1. Was ist der Satz des Pythagoras?

  2. Was ist ein rechtwinklig Dreieck?

  3. Satz des Pythagoras Beispiele

  4. Satz des Pythagoras Übungsaufgaben mittels Lösung

  5. Der Beweis für den Satz des Pythagoras
  6. Satz des Pythagoras Übungsaufgaben – Lösungen

Von diesem Satz hast du sicher schon einmal gehört: a² + b² = c². Das ist der Satz des Pythagoras. Aber was bedeutet er eigentlich und was kannst du damit berechnen? Das erklären wir dir in diesem Artikel. 🤓

 

Was ist der Satz des Pythagoras? 

 

Der Synthese des Pythagoras zählt zu den bekanntesten Lehrsätzen die Mathematik. 🧐 In einem rechtwinkligen Dreieck stellt er eine Beziehung zwischen den Seiten a, b und c her – wobei a und b das sogenannten Katheten sind und c die Hypotenuse. Als Hypotenuse wird die längste Seite im Dreieck bezeichnet. Diese liegt dem 90°-Winkel gegenüber. Die Katheten sind die beiden kürzeren Seiten, zwischen denen der 90°-Winkel gebildet wird. 

Kurz gesagt, bedeutet der Satz des Pythagoras, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe die Katheten zum Quadrat gleich der Hypotenuse zum Quadrat ist. Oder eben die Formel: a² + b² = c².

Man könnte den Satz also auch so formulieren: 👇 

(Kathete)² + (Kathete)² = (Hypotenuse)²

Mit dieser Form kannst du wichtige Aussagen bezüglich der Seitenlängen im Dreieck treffen. Wie du anhand der Beispiele sicher feststellen wirst, können mithilfe des Satzes des Pythagoras einzelne Seitenlängen berechnet werden, wenn man die anderen kennt.

 

Was ist ein rechtwinkliges Dreieck?

 

Als rechtwinkliges Dreieck bezeichnet man ein Dreieck mit einem rechten Winkel, also einem 90°-Winkel zwischen zwei Seiten – den Katheten. Durch diesen rechten Winkel wird es besonders simpel, Berechnungen zu den Seitenlängen durchzuführen – viel einfacher, als bei anderen geometrischen Formen. Und genau das schaffst du mit dem Satz des Pythagoras. 🙌

 

Satz des Pythagoras Beispiele

 

Mit den folgenden Beispielen möchten wir dir dabei helfen, den Satz des Pythagoras weiter besser zu verstehen. Durch die Beispiele kannst du sehen, welche Möglichkeiten dir die Formel gibt. 

 

Beispiel 1:

❓ Aufgabe: In einem rechtwinkligen Dreieck kennst du das Längen der beiden Katheten a und b. Das Kathete a ist 6 cm und b 8 cm lang. Berechne die Hypotenuse c.  

💡 Lösung: Rufen wir uns zunächst unsere Formel wieder in Erinnerung: a² + b² = c². In unserem Beispiel kennen wir a und b. Also stellen wir die Formel so um, dass wir c herausfinden. Zunächst müssen wir beachten, dass sowohl die Betragen als auch die Formeln unserer Formel quadriert sind. Bei den Einheiten gilt: cm² = cm x cm. Um die Länge der Hypotenuse c an erhalten, müssen wir aus der anderen Seite die Gleichung, also a² + b², die Wurzel ziehen. Dabei wird auch aus cm² wieder die Einheit cm.

 

Beispiel 2: Kathete berechnen

❓ Aufgabe: In einem rechtwinklig Dreieck sind die Längen der Kathete a und der Hypotenuse c bekannt. Kathete a = 4 cm, Hypotenuse c = 10 cm. Berechne das Kathete b.

💡 Lösung: Rufen wir uns erneut den Satz des Pythagoras in Erinnerung: a² + b² = c². Um b zu erhalten, müssen wir zunächst die Gleichung umstellen. b ergibt sich weg der Wurzel aus (c²-a²). Dasselbe könntest du natürlich auch zur Berechnung der Kathete a machen.

Wenn du noch Fragen zu den Beispielen hast, könnte dir auch unser Blogartikel zum Lösen von Gleichungen weiterhelfen. 🙌

 

Satz des Pythagoras Übungsaufgaben mit Lösung

 

Haben dir das Beispiele im letzten Absatz geholfen, den Satz des Pythagoras besser zu verstehen? Super! Mit den folgenden Übungen kannst du dein neues Wissen weiter korrigieren. Die Lösungen dazu findest du im letzten Abteilung – aber nicht schummeln! 😉

Wenn das Ergebnis nicht ganzzahlig ist, runde auf eine Dezimalstelle! Bereit? An die Plätze, fertig, los!

1) a = 5 cm, c = 16 cm

2) a = 6 cm, b = 9 cm

3) b = 8 cm, c = 10 cm

4) a = 12 cm, c = 15 cm

5) b = 12 cm, c = 20 cm

6) a = 8 cm, b = 12 cm

 

Der Beweis für den Synthese des Pythagoras

 

Möglichkeiten, um den Satz des Pythagoras an beweisen, gibt es so einige – mehrere hundert Beweise sind bekannt. Damit gilt er als die am häufigsten bewiesene Satz der Mathematik. Als Beweis für seine Richtigkeit gelten zum Beispiel der Beweis nach Euklid, Beweis durch Addition abgeleiteter Flächeninhalte, Beweis durch Ergänzung, Beweis durch Scherung, Beweis mit Analogien und der Beweis der Umkehrung. Was nur wenige wissen: Selbst Albert Einstein hat einen Beweis für den Satz des Pythagoras geliefert!

 

Satz des Pythagoras Übungsaufgaben – Lösungen

 

Bist du schon fertig mit den Übungen? Wirklich? Du weißt ja, Schummeln gilt nicht! ❌ Hier bekommst du die Lösungen für die Übungsaufgaben aus diesem Artikel:

1) b = 15,2 cm

2) c = 10,8 cm

3) a = 6 cm

4) b = 9 cm

5) a = 16 cm

6) c = 14,4 cm

 

Na, wie ist es dir mittels den Übungsbeispielen ergangen? Hast du alle Beispiele richtig berechnet? Oder würdest du dich noch über etwas mehr Übung freuen? Wenn du den Satz des Pythagoras noch nicht so ganz verstanden hast, dann teste eine kostenlose Nachhilfestunde bei GoStudent. 

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