Formel zinseszins jährliche einzahlung
Einzahlung eines bestimmten Betrages – der Rate – bei einer Bank für einen Zeitraum von mehreren Jahren. Wir wollen wissen, wie sich dieses eingezahlte Kapital „entwickelt“ und mit .Die Zinseszinsformel – Aufzinsen und Abzinsen
Die Zinseszinsformel ist eine der wichtigen Formeln in der Finanzmathematik und beantwortet die Frage, auf welches Endkapital ein anfängliches Kapital nach einem gewissen Zeitraum angewachsen ist, wenn das Kapital in jedem dieser Zeiträume mit dem festen Zinssatz verzinst wird. Fest verbunden mit der Zinseszinsberechnung sind die Begriffe “Aufzinsen” und “Abzinsen”.
Herleitung der Zinseszinsformel
Man kann die Zinseszinsformel relativ einfach herleiten. Verdeutlichen kann man sich dies an einem Beispiel: man leiht jemandem eine Summe K und
vereinbart, dass siehe die Summe nach einem Jahr zurückbezahlt wird. Zusätzlich wird eine Leihgebühr i (=Zinsen) vereinbart. Diese Mietgebühr wird in der Regel in % des verliehenen Betrages und pro Jahr angegeben.
Die Formel für das Kapital K1, dass man nach einem Jahr zurückbekommt wäre: K1 = K + K· i = K·(i + 1)
Nun könnte man vereinbaren, dass das Summe erst nach zwei Jahren zurückgezahlt wird. Da darf natürlich nicht vergessen werden , dass nach dem ersten Jahr die “Leihgebühr” auf die Gesamtbetrag K1 gezahlt werden muss (Zinseszins).
Die Formel für das Kapital
K2 = K1 + K1·i = K1· (1 + i) = K· (1 + i)· (1+ i) = K· (1 + i)²
Betrachtet man nun n-Perioden bzw. n-Jahre erhält man als Formel:
Kn = K (1+ i)n
Diese Formel wird auch die Zinseszinsformel bezeichnet und ist die Grundlage der einfachen Zinsrechnung.
Aufzinsen und Abzinsen
Nun werden die Begriffe Aufzinsen und Abzinsen dargestellt:
Aufzinsen
Hierbei ist von Interesse, was aus einer Anfangssumme und einer Anlage nach n-Perioden bei einem festen Zins i geworden ist. Hierbei kann Kn nach der obig abgebildeten Formel für die Zinseszinsberechnung verwenden.
Abzinsen
Hierbei ist von Interesse zu berechnen, was eine Gesamtbetrag, die man in n-Perioden bekäme, heute wert ist. Das “Abzinsen” verwendet man daher, wenn man wissen will, welche Summe K man heute benötigt, um in n-Perioden (bei einem festen Zinssatz i) an eine bestimmte Endsumme zu kommen. Zur Berechnung müssen man die Zinseszinsformel ein wenig umstellen.
K = Kn : (1 + i)n
Umstellen der Zineszinsformel
Umstellen der Zineszinsformel
Je nach gesuchter Größe lässt sich die Zinseszinsformel verhältnismäßig leicht umstellen:
Die Zinseszinsformel – Aufzinsen und Abzinsen – Testfragen/-aufgaben
1. Was ist die Zinseszinsformel und wie wird sie generell angewendet?
Die Zinseszinsformel ist eine Formel, mittels der sich der zukünftige Wert einer Geldanlage oder Schulden berechnen lässt, die mit einem festen jahrliche Zinssatz verzinst wird. Sie lautet: A = P × (1+r)^n, wobei A der zukünftige Wert, P der ursprüngliche Betrag, r die jährliche Zinsrate und n die Anzahl der Jahre sind.
2. Was bedeutet der Begriff ‘Aufzinsen’ in der Zinseszinsformel?
Das Aufzinsen bezieht sich auf den Prozess des Hinzufügens von Zinsen zu einem ursprünglichen Betrag über einen Zeitraum. Es berücksichtigt dabei sowohl den ursprünglichen Betrag als auch die bisher angesammelten Zinsen.
3. Was bedeutet der Konzept ‘Abzinsen’ und wie spielt er eine Rolle in der Zinseszinsformel?
Abzinsen ist der Prozess der Ermittlung des gegenwärtigen Werts eines Betrags, der zu einem zukünftigen Zeitpunkt zur Verfügung stehen wird. Es ist das Gegenteil von Aufzinsen. In der Zinseszinsformel dient das Abzinsen dazu, den heutigen Wert eines zukünftigen Geldbetrags zu ermitteln.
4. Was ist der Unterschied zwischen vereinfachen Zinsen und Zinseszinsen?
Der Hauptunterschied besteht darin, dass einfache Zinsen nur auf den ursprünglichen Betrag (Hauptbetrag) berechnet werden, während Zinseszinsen sowohl auf den Hauptbetrag als auch auf die bereits angesammelten Zinsen berechnet werden.
5. Wie berechnet man den zukünftigen Wert einer Einrichtung mit der Zinseszinsformel?
Mit der Zinseszinsformel berechnet man den zukünftigen Wert einer Anlage, indem man den originalen. Betrag (P), die jährliche Zinsrate (r) und das Anzahl der Jahre (n) in die Formel setzt ein, also A = P × (1+r)^n.
6. Wie funktioniert die Zinseszinsformel beim Abzinsen?
Beim Abzinsen wird die Zinseszinsformel umgekehrt angewendet, um den gegenwärtigen Wert zu berechnen. Die Formel lautet P = A / (1 + r)^n.
7. Welche Rolle spielt der Zinssatz in der Zinseszinsformel?
Der Zinssatz spielt eine entscheidende Rolle in der Zinseszinsformel, da er bestimmt, wie viel Zinsen über einen bestimmten Zeitraum anfallen.
8. Wie wird das Zinseszinsformel in der Finanzmathematik angewendet?
In der Finanzmathematik wird die Zinseszinsformel verwendet, um den zukünftigen Wert von Anlagen, den gegenwärtigen Wert von zukünftigen Zahlungsströmen und verschiedene Arten von Darlehen zu berechnen.
9. Was ist der Unterschied zwischen jährlicher Verzinsung und vierteljährlicher Verzinsung?
Bei jährlicher Verzinsung wird der Zins nur einmal pro Jahr angewendet, während bei vierteljährlicher Verzinsung der Zinszuschlag viermal pro Jahr angewendet wird. Dies führt an höheren Endergebnissen aufgrund des Zinseszinseffekts.
10. Wie beeinflusst das Häufigkeit der Zinsberechnung die Endsumme bei der Zinseszinsformel?
Je häufiger die Zinsen berechnet werden (z.B. monatlich oder vierteljährlich statt jährlich), desto höher ist die Endsumme aufgrund des Zinseszinseffekts.
Autor: Dr. Christian Eisenhut, Letzte Aktualisierung: 02. Februar 2024